(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0) → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0) → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0 → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__x(X1, X2)) → x(X1, X2)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
isNatKind(n__plus(n__isNatKind(X135418_4), V2)) →+ and(isNatKind(isNatKind(X135418_4)), n__isNatKind(activate(V2)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X135418_4 / n__plus(n__isNatKind(X135418_4), V2)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__x(X1, X2)) → x(X1, X2)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, V1, V2) → U32(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U32(tt, V2) → U33(isNat(activate(V2)))
U33(tt) → tt
U41(tt, N) → activate(N)
U51(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
U61(tt) → 0'
U71(tt, M, N) → plus(x(activate(N), activate(M)), activate(N))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__x(V1, V2)) → U31(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
isNatKind(n__x(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
plus(N, 0') → U41(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U51(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
x(N, 0') → U61(and(isNat(N), n__isNatKind(N)))
x(N, s(M)) → U71(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
x(X1, X2) → n__x(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__x(X1, X2)) → x(X1, X2)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X
Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNat,
activate,
U41,
plus,
x,
and,
isNatKindThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U41, plus, x, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U41, plus, x, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U41, x, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
U41, isNat, x, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U41.
(16) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, x, isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.
(18) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, x
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
isNatKind(
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(
+(
1,
n7312_4))) →
*3_4, rt ∈ Ω(n7312
4)
Induction Base:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, 0)))
Induction Step:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, +(n7312_4, 1)))) →RΩ(1)
and(isNatKind(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4)))), n__isNatKind(activate(tt))) →RΩ(1)
and(isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))), n__isNatKind(activate(tt))) →IH
and(*3_4, n__isNatKind(activate(tt))) →RΩ(1)
and(*3_4, n__isNatKind(tt))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(20) Complex Obligation (BEST)
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
x, isNat, activate, U41, plus, and
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol x.
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U41, plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.
(25) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U41, plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U41
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.
(29) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
U41, isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U41.
(31) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
The following defined symbols remain to be analysed:
isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U41
isNat = plus
isNat = x
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U41
activate = plus
activate = x
activate = and
activate = isNatKind
U41 = plus
U41 = x
U41 = and
U41 = isNatKind
plus = x
plus = and
plus = isNatKind
x = and
x = isNatKind
and = isNatKind
(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.
(33) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
No more defined symbols left to analyse.
(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
(35) BOUNDS(n^1, INF)
(36) Obligation:
TRS:
Rules:
U11(
tt,
V1,
V2) →
U12(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U12(
tt,
V2) →
U13(
isNat(
activate(
V2)))
U13(
tt) →
ttU21(
tt,
V1) →
U22(
isNat(
activate(
V1)))
U22(
tt) →
ttU31(
tt,
V1,
V2) →
U32(
isNat(
activate(
V1)),
activate(
V2))
U32(
tt,
V2) →
U33(
isNat(
activate(
V2)))
U33(
tt) →
ttU41(
tt,
N) →
activate(
N)
U51(
tt,
M,
N) →
s(
plus(
activate(
N),
activate(
M)))
U61(
tt) →
0'U71(
tt,
M,
N) →
plus(
x(
activate(
N),
activate(
M)),
activate(
N))
and(
tt,
X) →
activate(
X)
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__plus(
V1,
V2)) →
U11(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNat(
n__s(
V1)) →
U21(
isNatKind(
activate(
V1)),
activate(
V1))
isNat(
n__x(
V1,
V2)) →
U31(
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2))),
activate(
V1),
activate(
V2))
isNatKind(
n__0) →
ttisNatKind(
n__plus(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
isNatKind(
n__s(
V1)) →
isNatKind(
activate(
V1))
isNatKind(
n__x(
V1,
V2)) →
and(
isNatKind(
activate(
V1)),
n__isNatKind(
activate(
V2)))
plus(
N,
0') →
U41(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)),
N)
plus(
N,
s(
M)) →
U51(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
x(
N,
0') →
U61(
and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N)))
x(
N,
s(
M)) →
U71(
and(
and(
isNat(
M),
n__isNatKind(
M)),
n__and(
isNat(
N),
n__isNatKind(
N))),
M,
N)
0' →
n__0plus(
X1,
X2) →
n__plus(
X1,
X2)
isNatKind(
X) →
n__isNatKind(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
x(
X1,
X2) →
n__x(
X1,
X2)
and(
X1,
X2) →
n__and(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
X2)
activate(
n__isNatKind(
X)) →
isNatKind(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
X2)
activate(
n__and(
X1,
X2)) →
and(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U32 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U33 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U51 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U61 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
U71 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__x :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and
Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(x), tt)
No more defined symbols left to analyse.
(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__x:n__and2_4(+(1, n7312_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n73124)
(38) BOUNDS(n^1, INF)